For integer $n>0$, find the values of $$\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\cdot i\cdot\binom{n-1}{i-1}$$
Click here for the solution.
Solution: If $n=1$, then
\begin{flalign*} \sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\cdot i\cdot\binom{n-1}{i-1} &= (-1)^{1+1}\cdot 1\cdot\binom{1-1}{1-1}& \\ &=1& \end{flalign*}If $n=2$, then
\begin{flalign*} \sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\cdot i\cdot\binom{n-1}{i-1} &=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot\binom{2-1}{1-1}+(-1)^{2+1}\cdot 2\cdot\binom{2-1}{2-1}& \\ &=1-2& \\ &=-1& \end{flalign*}If $n\ge 3$, then
\begin{flalign*} \sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\cdot i\cdot\binom{n-1}{i-1} &= \sum\limits_{i=0}^{n-1}(-1)^{i+2}\cdot (i+1)\cdot\binom{n-1}{i} &\\ &=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(-1)^i\cdot i\cdot \binom{n-1}{i}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}(-1)^i\cdot\binom{n-1}{i}& \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^i\cdot i\cdot \binom{n-1}{i}+(1-1)^{n-1} &\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^i\cdot i\cdot \dfrac{(n-1)!}{i!\cdot ((n-1)-i)!} + 0 &\\ &=(n-1)\cdot\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^i\cdot \dfrac{(n-2)!}{(i-1)!\cdot ((n-2)-(i-1))!} &\\ &=(n-1)\cdot(-1)\cdot\sum\limits_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\cdot \binom{n-2}{i-1} &\\ &=(1-n)\cdot\sum\limits_{i=0}^{n-2}(-1)^i\cdot \binom{n-2}{i} &\\ &=(1-n)\cdot(1-1)^{n-2} &\\ &=0 & \end{flalign*}Therefore, we have
\begin{flalign*} \sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\cdot i\cdot\binom{n-1}{i-1}=& \left\{ \begin{array}{rl@{\qquad}l} 1 & n = 1 \\ -1 & n = 2 \\ 0 & n \ge 3 \\ \end{array} \right. & \\ \end{flalign*}